月牙求积 — 图解数学 DKMath

一弯月牙形的地，怎么量面积？

一块方方正正的地，面积好算：长乘宽。可要是你面前是一块月牙形的水塘或花圃，两条边都是弯的——它的面积，还能精确算出来吗？

直边图形从来不难，难的是弯的边界。公元前 5 世纪，古希腊数学家希波克拉底给出了一个惊人的答案：有那么一种月牙，它的面积恰好等于一个三角形。这是历史上第一次，人类用直边图形精确"量出"了一个曲边图形的面积。

跟着动画一步步来：

取一条线段作斜边，以它为直径画一个大半圆。
在半圆弧上任取一点 $C$ ，连成三角形。根据泰勒斯定理，直径所对的圆周角一定是直角——所以 $△ A B C$ 是个直角三角形，直角在 $C$ 。
再分别以两条直角边为直径，各向外画一个小半圆。
每个小半圆和大半圆之间夹出的那块"月牙形"，就是希波克拉底月牙。

S_{{月牙}_{1}} + S_{{月牙}_{2}} = S_{△ A B C}

两弯弯的月牙加起来，面积正好等于那个直角三角形——一点 $π$ 都不剩。

关键只用到一个事实：半圆的面积正比于直径的平方。直径为 $d$ 的半圆，面积是

\frac{1}{2} π {(\frac{d}{2})}^{2} = \frac{π}{8} d^{2}

设直角边为 $a$ 、 $b$ ，斜边为 $c$ 。两个小半圆的面积之和是

\frac{π}{8} a^{2} + \frac{π}{8} b^{2} = \frac{π}{8} (a^{2} + b^{2})

而由勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，这正好等于以斜边 $c$ 为直径的大半圆面积 $\frac{π}{8} c^{2}$ ：

两小半圆之和 = 大半圆

现在做个减法。两个小半圆 = 两弯月牙 + 它们盖住的两块弓形；大半圆 = 三角形 + 那同样的两块弓形。既然两小半圆和大半圆面积相等，把公共的两块弓形一减：

两月牙 = 三角形

含 $π$ 的部分被消得干干净净——这正是它优美的地方。

希波克拉底本想借此化圆为方：用尺规作出与给定圆等面积的正方形。月牙能"化方"，让他看到了希望。可惜，整个圆终究做不到——两千多年后人们才证明：因为 $π$ 是超越数，化圆为方根本不可能。

但希波克拉底的月牙留了下来，成为数学史上第一个被精确求积的曲边图形，至今仍被当作"曲与直之间也能相等"的最美例证之一。