幻方 — 图解数学 DKMath

数独的老祖宗，长什么样？

你大概玩过数独——把数字填进九宫格，让每行每列都不重复。这种"在方格里摆数字"的游戏，其实有一位两千多岁的祖宗，而且规矩还要更苛刻：横着加、竖着加、斜着加，结果都得一模一样。 这就是幻方。

最有名的那个幻方，就藏在一则中国古老的传说里。

相传大禹治水时，洛水中浮出一只神龟，背上有一幅奇特的点阵图案——这就是传说中的洛书。把它翻译成数字，是一个 $3 \times 3$ 的九宫格：

\begin{matrix} 4 & 9 & 2 \\ 3 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 6 \end{matrix}

它把 $1$ 到 $9$ 不重不漏地填进九个格子。神奇之处在于：无论你怎么加，结果都一样。

不信你挨着算（动画会逐条高亮）：

八条线，条条都是 15。这个公共的和，叫做幻和（magic constant）。

这其实不靠运气，是被"锁死"的。 $1$ 到 $9$ 全部加起来是

1 + 2 + \dots + 9 = \frac{9 \times 10}{2} = 45

三行刚好把这 9 个数分成三组，每组的和必然相等，所以每行（每列也一样）一定是

\frac{45}{3} = 15

幻和根本由不得你选。推广到 $n$ 阶幻方（填入 $1$ 到 $n^{2}$ ），同样的道理给出幻和公式：

M = \frac{n (n^{2} + 1)}{2}

代入 $n = 3$ ： $M = \frac{3 \times 10}{2} = 15$ ，正好对上。

再看一个被锁死的位置：正中央一定是 5。因为过中心的有 4 条线（一行、一列、两对角），它们的和加起来是 $4 \times 15 = 60$ ；这 4 条线覆盖了全部 9 个数（和为 45），而中心格被数了 4 次、多算了 3 次。于是

60 = 45 + 3 \times (中心) \Rightarrow 中心 = 5

整个幻方的骨架，就这样被算术悄悄定好了。

三阶幻方还能"一笔生成"——这就是著名的连续法（暹罗法）：从顶行正中写下 $1$ ，然后每次往右上斜着走一格填下一个数；要是走出界，就绕到对边；要是格子已被占，就改放到正下方一格。如此往复， $1$ 到 $9$ 填完，一个标准幻方就成形了。任何奇数阶幻方都能这样画出来。

从神龟传说到一条简洁公式，幻方把"对称"与"守恒"之美，浓缩进了小小的九宫格里。