圆周率 π — 图解数学 DKMath

NASA 算行星轨道，π 用到几位？

你可能以为，把探测器送出太阳系，圆周率得用上成百上千位才够精确。可 NASA 喷气推进实验室的工程师说：他们最多只用到 15 位。

这反而让人更好奇了——连飞出太阳系都只要 15 位，那两千多年前，没有计算器、连小数都还没有的古人，又是怎么把 π 抠到 3.14 的？

答案出自阿基米德。他没有去量任何一个圆，而是用了一个绝妙的主意：把圆夹在两个多边形之间。

π 是什么？就是圆的周长除以直径。任何圆都一样，这个比值恒定，记作 π。

难点在于：圆是弯的，没法直接拿尺子量出周长。

阿基米德的主意是——既然圆量不了，那就用能量的直线图形去逼近它：正多边形。

在圆里画一个内接正多边形（顶点都在圆上），它整个躲在圆里面，所以它的周长一定比圆周小。

在圆外画一个外切正多边形（每条边都贴着圆），它把圆整个包住，所以它的周长一定比圆周大。

于是圆周就被牢牢夹在中间：内接周长 < 圆周 < 外切周长。

接下来是点睛之笔：不断让边数翻倍。 边越多，多边形就越像圆，上下两个估计就越靠越近——π 被夹得越来越紧。

阿基米德从正六边形出发，一路翻倍到正 96 边形：

到 96 边时，他得出了著名的结论：

\frac{223}{71} < π < \frac{22}{7}

也就是 $3.1408 < π < 3.1429$ ——和真值只差千分之几。

对一个内接正 $N$ 边形，每条边对应的圆心角是 $2 π / N$ ，可以算出：

内接： π > N \sin \frac{π}{N}, 外切： π < N \tan \frac{π}{N}

当 $N \to \infty$ 时， $\sin \frac{π}{N}$ 与 $\tan \frac{π}{N}$ 都趋近于 $\frac{π}{N}$ ，两侧一起收敛到 π。

这种"用越来越细的直线图形逼近曲线"的思想，叫做穷竭法——它正是两千年后微积分里"极限"的雏形。

π 看着抽象，其实你每天都在用它的"成果"。

航天导航：开头说的"只用 15 位"不是夸张——拿这 15 位去算约 200 亿公里外（旅行者号那么远）的一整圈圆周，误差也不过几厘米。而只要 40 位 π，就能把整个可观测宇宙的周长，算到一个氢原子那么准。
给超级计算机"体检"：把 π 算到几万亿位，是检验新超算、新芯片稳不稳定、快不快的经典压力测试——一位算错，整台机器的可靠性就要打问号。
无处不在的圆与波：只要涉及转动、圆周、信号与振动（从发动机、GPS 到手机里的傅里叶变换），π 就藏在公式里。

而阿基米德最了不起的，不是"算出" π 的精确值（它是无理数，根本写不尽），而是给出了一个能无限逼近、且永远知道误差范围的方法。

数学之美，往往不在于得到终点，而在于找到一条能稳稳走向终点的路。