毕达哥拉斯定理 — 图解数学 DKMath

一条丈量世界的定理

你有没有想过，工匠怎么在没有量角器的情况下，画出一个标准的直角？古埃及人有个办法：拿一根绳子打上 12 个等距的结，围成边长为 3、4、5 的三角形——拉直它，两条短边的夹角就恰好是 90°。

这背后，是数学里最有名的一条定理。

对任意直角三角形，设两条直角边（腿）为 $a$ 、 $b$ ，斜边为 $c$ ，那么：

a^{2} + b^{2} = c^{2}

注意， $a^{2}$ 不只是" $a$ 乘 $a$ "这个数字——它正是以 $a$ 为边长的正方形的面积。所以这条定理其实在讲一件关于面积的事：

两条直角边上的正方形，面积加起来，正好等于斜边上那个正方形的面积。

把三边各画一个正方形，再切成单位小格，最直观了。以 3-4-5 为例：

把前两个正方形的 $9 + 16$ 个格子搬过去，正好填满斜边正方形的 25 格，一格不多、一格不少：

9 + 16 = 25

这就是动画在做的事——眼见为实。

像 $(3, 4, 5)$ 这样三边都是整数、又满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 的组合，叫做毕达哥拉斯三数组（毕氏三角形）。常见的还有：

它们不是凑巧。古希腊数学家欧几里得给出了一个生成公式：任取两个正整数 $m > n$ ，令

a = m^{2} - n^{2}, b = 2 m n, c = m^{2} + n^{2}

就一定得到一组毕氏三数组。比如 $m = 2, n = 1$ 给出 $(3, 4, 5)$ ； $m = 3, n = 2$ 给出 $(5, 12, 13)$ 。这意味着——毕氏三角形有无穷多个。

这条定理是连接代数与几何的桥梁：它让"距离"可以被计算。今天你手机里的导航、屏幕上两点间的长度、三维空间里的测距，根底里都是它：

距离 = \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}

一条两千多年前的定理，至今仍在每一次定位、每一帧渲染里默默工作。