出租车几何

抄近路和绕远路，为什么一样远？

你在曼哈顿打了辆出租车，从一个路口到斜对面那个路口。司机可以先往东开三个街区、再往北开三个；也可以走一格东、一格北、一格东……拐来拐去走个"楼梯"。可你会发现一件怪事：只要他不往回开，无论怎么拐，总路程一模一样。

因为车不能像鸟一样飞对角线——它被街道网格锁死了。在这个世界里，"距离"不再是我们熟悉的那条直线。

三种不一样的"距离"

我们平时说的距离，是两点间那条直线的长度，叫欧氏距离——也就是勾股定理量出来的那条斜边（见 [[pythagorean-theorem]]）。但它只是众多距离里的一种。

把两点的横、纵坐标差记作 $\Delta x$、$\Delta y$，三种最常见的距离是：

• 曼哈顿距离（出租车走的）：横竖一段段加起来，$\mid \Delta x\mid +\mid \Delta y\mid$
• 欧氏距离（鸟飞的直线）：$\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$
• 切比雪夫距离（国际象棋"王"走的）：$\max (\mid \Delta x\mid ,\mid \Delta y\mid )$

最后这个最反直觉。国际象棋的"王"每步能往八个方向走一格，斜着走也只算一步。所以它从棋盘一角走到对角，要的不是 $7+7=14$ 步，而是 $\max (7,7)=\text{8}$ 步——斜着冲过去就行。

同样两个点，三种规则，量出三个不同的"远近"。距离不是天经地义的，它取决于你怎么被允许移动。

每种距离都有自己的"圆"

这是最妙的地方。所谓"圆"，就是到圆心距离都相等的点连成的形状。换一种距离，圆就长得不一样：

动画里这三个形状叠在一起，一眼就能看出区别。顺带一个彩蛋：在曼哈顿几何里，"圆周率"不是 3.14，而是整整 4——菱形一圈的"周长"除以"直径"恰好等于 4。

它们其实是一家人

这些距离不是各自孤立的，它们都属于一个统一的公式——闵可夫斯基距离：

拨动里面的 $p$，神奇的事情发生了：

• $p=1$ 时，就是曼哈顿距离，单位圆是菱形
• $p=2$ 时，就是欧氏距离，单位圆是圆
• $p\to \infty$ 时，就是切比雪夫距离，单位圆鼓成正方形

动画里拖动 $p$，你能看到菱形平滑地长成圆、再鼓成方。它们是同一族曲线的不同长相。

曼哈顿和切比雪夫，竟是同一个

还有个更漂亮的结论。把曼哈顿的菱形绕中心转 45°、再放大 $\sqrt{2}$ 倍，它会严丝合缝地压在切比雪夫的正方形上。

这说明：切比雪夫距离不过是"把坐标系转了 45°的曼哈顿距离"。两个看似不同的世界，本质上是同一个，只是看的角度差了 45°。

它藏在哪些地方

• 导航与物流：城市配送、仓库取货机器人在网格货架间穿行，算的都是曼哈顿距离。
• 游戏与棋类：棋盘寻路、塔防的攻击范围，常用切比雪夫距离（"王"的走法）。
• 图像处理：给图形描边、计算像素到边界的"距离变换"，按的就是这几种格点距离。

下次坐进出租车，看着窗外一格格倒退的街区——你正穿行在一个"圆是菱形"的几何世界里。